免停中に期間を間違えて乗ってしまうことはありえるのか
まず、免停の開始ですが警察に出頭して免許証を預けた日から開始します。
処分が決めると公安委員会から通知書が送られてきて、通知書に書かれた場所と日付に従って警察へ出頭して免許証を預けます。
この日から免停期間が始まります。
勘違いされやすいのは、取締を受けた後に運転してもいいのかどうか。
通知書にしたた出頭して免許証を預ける前は免停期間ではないので運転しても大丈夫です。
ちなみに出頭を無視して運転をし続けても（免許証の期限内であれば）無免許運転にはなりません。
では逃げ得かというとそうではありません。
免停には時効はありません。前歴の期間は長くなり、次の違反では点数が累積した状態なので処分がより重くなります。
話を戻すと、免停期間中は免許証を警察に預け、手元には免許証を持っていない状態になります（免停期間中でも免許の更新は行なえますが、免停明けまで免許証を受け取ることが出来ません）。
つまり、普通の人なら勘違いは起きないと言えます。
今回の都議会議員も免許証を持っていなかったはずです。
免停処分者が受けられる講習は二種類
可能性として考えられるのは停止処分者講習を受けると免停にならない、免停を免除されるという誤解です。
免停の場合、受けられる講習が二種類あります。
違反者講習と停止処分者講習（免停講習）です。条件を満たしていれば違反者講習、そうでない場合も停止処分者講習を受けることが可能です。
違反者講習を受けると30日間の免停が免除となります。30日間の免停が30日間の免除となるので、免停にはならず前歴にもなりません。
もう一つ、停止処分者講習というものもあります。免停講習と呼ばれるものです。
こちらは受講すると最大で29日間の免停が免除されます。30日間の免除ではないため、受講当日は免停期間中になります。
違反者講習と停止処分者講習の二種類あり、違反者講習は免停が免除され停止処分者講習は免除されない違いを（説明をよく聞かずに）勘違いする可能性はあるのかもしれません。
件の都議会議員の言い訳を最大限に受け入れるとすれば、かつて累積6点で免停となり違反者講習を受けた経験があり、免停を免除されることを知っていた。
そして今回は免除されない停止処分者講習を受けて、しかもその当日だった、という解釈でしょうか。
この場合は免停期間を間違えてしまう人もいるのかなと思います（それでもかなり苦しいですが、免停講習直後に運転して帰ろうとして捕まる例はそれなりにあるそうです）。
そうなのかそうでないのかはそれほど調べなくてもわかることであり、免停期間を間違えたという言い訳が苦しいことはすぐに明らかになるでしょう。
最後に
恐らくですが、元々は30日の免停ではなく60日以上の免停だった可能性が高いでしょう。今回起こした事故をあわせて考えると正直運転に向いていないと思います。
ちなみに免停期間中の無免許運転は免許取り消しになりますので免停中の運転にメリットはまったくありません。
免取り後の無免許運転も多いので、件の都議会議員は議員を続けられるというのであれば最低でも自家用車は全て売却する必要はあるでしょう（欠格期間は最低でも３年だと予想出来るので、その間は家族が所有する車からも遠ざける意味で処分すべきです）。
追記
2月から免停だったようです。
そうなると120日か150日の免停をくらっていた可能性が高く、120日なら免停を1回、150日なら2回は経験しているはずです。
事故当日以外にも免停中に運転する姿を目撃されているようなので、やはり言い訳は苦しいと思います。
